初三數學知識點總結(10)

【來源：易教網 更新時間：2026-07-03】

一、二次函數概念：

a0）b，c是常數

1．二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數，叫做二次函數。這c可以為零．二次函數的定義域是全體實里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0，而b，數．

2.二次函數yax2bxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．b，c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．

⑵a，二、二次函數的基本形式

1.二次函數基本形式：yax2的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上00，00，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減�。粁0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．

2.yax2c的性質：上加下減。

a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上c0，c0，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減��；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．

3.yaxh的性質：左加右減。

2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上0h，0h，性質xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨X=hx的增大而減��；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．

4.yaxhk的性質：

a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上h，kh，kX=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

三、二次函數圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：

⑴將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點坐標h，k；

⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數yax2bxc的性質

b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值

2a2a4a

七、二次函數解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）；

2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系

1.二次項系數a

二次函數yax2bxc中，a作為二次項系數，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；

⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．

起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．

2.一次項系數b

在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．

⑴在a0的前提下，當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的右側．2a⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；

2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．2a

起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是“左同2a右異”總結：

3.常數項c

⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；

⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數解析式的確定：

根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數圖象的對稱

二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關于x軸對稱

yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

2.關于y軸對稱

yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

3.關于原點對稱

yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；

4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）

2222b2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關于頂點對稱后，得到的`解析式是yaxhk．n對稱

5.關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數與一元二次方程：

1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數yax2bxc當函數值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.

a2

②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；

2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．

2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

3.二次函數常用解題方法總結：

⑴求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

⑵求二次函數的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；

⑶根據圖象的位置判斷二次函數yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函數中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

⑸與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數；下面以a0時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：

0拋物線與x軸有兩個交點0二次三項式的值可正、可零、可負二次三項式的值為非負二次三項式的值恒為正一元二次方程有兩個不相等實根一元二次方程有兩個相等的實數根一元二次方程無實數根.0拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函數圖像參考：

y=3x2y=3(x-2)2y=x22

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函數的應用

剎車距離二次函數應用何時獲得最大利潤

最大面積是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2